В.Б.Губин. О физике, математике и методологии. - М.: ПАИМС. 2003.
Философские науки, 1996, № 1-4, стр. 196-206.
МАТЕМАТИКА КАК ФОРМАЛИЗОВАННАЯ
ИМИТАЦИЯ
ЭТАПА
В.Б.ГУБИН, кандидат физико-математических наук
В [1-5] для анализа соотношения физических теорий разных уровней был применен деятельностный подход. Как представляется, удалось прояснить существенные моменты механизма формирования объектов физических теорий. Объекты и структуры разных уровней формируются 1) материалом первичного уровня и 2) целью, способом и средствами деятельности с ним. Второй фактор, обычно мало замечавшийся в методологических анализах естественных наук, является принципиальным и неизбежным во всех случаях выделения объектов в отражении субъектом реальности. В связи с этим были рассмотрены общие свойства субъекта, причастные к формированию объектов в отражении.
Важнейшая особенность субъекта, позволяющая образовывать в отражении более или менее устойчивые структуры - образы неисчерпаемого и непрерывно меняющегося мира, - относительная устойчивость ощущений. Она приводит к обобщению различных (в определенных пределах) ситуаций, выделяя в них нечто главное с точки зрения целей, потребностей и способов деятельности субъекта, порождая качество. При выходе состояний отражаемой среды за определенные рамки данное состояние ощущения и соответствующее качество исчезают. В результате среда предстает перед субъектом в виде областей различного качества, разделенных границами. Области, выделяемые границами, и есть объекты, которыми оперирует субъект, вырабатывая ответные действия.
Существенно, что необходимость границ возникает в деятельности, где надо принимать решения, а не в простом созерцании, которого - отдельного, самостоятельного - вероятно, вообще нет. Созерцание, по-видимому, можно рассматривать лишь как составной (и сильно идеализированный) элемент деятельности. Можно даже сказать, что само ощущение происходит для действий, ибо без иных последствий, кроме самого себя, ощущение было бы чистой и автономной идеей довольства или недовольства (вроде дхарм), для которой не требовалось бы и причины (а также и следствия). В свою очередь действия совершаются ради ощущения и оцениваются как таковые только по отношению к ощущению, так как в противном случае они не были бы действиями, а были бы простыми движениями материи, не отличимыми по качеству от любых других. Таким образом, ощущение и действие неразрывны, внутренне связаны. Но в то же время ощущение очевидно имеет и относительную выделенность, самостоятельность. Во всем комплексе деятельности ощущения выполняют свою работу: с помощью них создается картина мира в виде объектов, выделяемых границами. На основании этой картины совершаются ответные действия.
Принятие решения на деятельность, как и выработка ощущения типа "хорошо-плохо" происходит по принципу "да-нет": действовать или не действовать. Средством оценки ситуации для выбора действий и является расстановка границ, формирование объектов в отражении этой ситуации.
Та же относительная устойчивость ощущений дает основание для объединения более или менее однородных объектов в новые объекты - классы объектов.
Что мы получили бы, если бы попытались формально имитировать выработку ощущений? Надо было бы построить модель среды и аппарат (законы, правила), вырабатывающий отношения к ней на основании какой-то меры (или набора мер). На предъявление того или иного состояния среды или ее части аппарат должен вырабатывать соответствующий отклик. Подчеркнем, что все необходимое должно быть указано достаточно полно и заранее. Таким образом, мы получили бы систему дедуктивного типа: сначала задаются исходные положения, а затем получаются прямые следствия.
Можно заметить [2], что характерные черты и элементы оценочного этапа деятельности напоминают операции, производимые в математике: те же выработка решения (отклика), установление границ на основании некоторой меры, выделение целого, объектов, их перечисление, группирование, объединение в классы и т.д. Все эти операции - порождение и средство деятельности. Поэтому можно полагать, что чистая математика изучает возможности и результаты в принципе произвольной (но формально обусловленной) модельной деятельности по структурированию произвольного модельного материала а также разрабатывает модельные свойства потенциально возможного материала. Последнее производится также в терминах, свойственных деятельности, т.е. с помощью сравнения и учета результатов сравнения, границ, объектов, перечисления объектов, условий и порядка включения объектов в те или иные классы, - поскольку в деятельности свойства материала могут быть указаны только по результатам работы с ним в определенных условиях.
В статье “О "математическом натурализме" Ф.Китчера” В.Я.Перминов писал ([6], с. 35): "Не вызывает сомнений то положение, что исходные математические идеализации связаны с операциями деятельности. Эта точка зрения, как известно, обосновывалась в работах Ж.Пиаже." Интенсивно развивающий это направление Ф.Китчер говорит в статье "Математический натурализм" ([7], с. 24): "Я всегда утверждал, что? проблема может быть разрешена, если мы будем понимать математику как идеализированную науку о человеческих операциях. Предмет математики в конечном итоге - способ, которым человеческое существо структурирует мир путем или операций грубых, физических, или операций мысленных." Необходимо "понять математику как совокупность отчетов о деятельности идеального субъекта, которому мы приписываем особые возможности структурировать окружающий нас мир."
Надо уточнить, о каких операциях может идти речь. Заметим, что операций "грубых, физических" не бывает без "мысленных". Для самой по себе среды "физические" воздействия (например, то, что мы назвали бы отрубанием ветки топором) ничем не отличаются от онтологических взаимодействий и процессов, в которых не выделены четко ни ветки, ни дерево. В этом смысле "физические" действия не могут создать четких границ, то есть не формируют отдельные вещи сами по себе, если (как почти все мы, вероятно, полагаем) мир с самого начала не составлен из предметов. Некоторые действия классифицируются как "физические" только в сфере идеального, только в отражении субъектом состояний и процессов среды. Таким образом, вся структурирующая деятельность сосредоточена в сфере субъективного, "мысленного".
Разбираемое в настоящей статье понимание математики как идеализированной, "эталонной" (но в то же время, как ниже увидим, в существенной степени ограниченной, усеченной, упрощенной и односторонней - дедуктивного типа) деятельности следует из сопоставления существа коренных операций математики с операциями, производимыми ощущающим и реагирующим субъектом при формировании объектов в его отражении мира. Уже потом, после формирования структур в сфере отражения, наступает этап материальных или идеальных действий, как бы исполнения решения, принятого субъектом. Та или иная результативность этих действий служит критерием степени адекватности выделенных субъектом структур самому отражаемому материалу (причем в действительности неисчерпаемо сложный результат также упрощается, структурируется и оценивается только в таком виде). Именно система операций этапа предварительного, субъективного структурирования материала и служит основой элементов и принципов математики. Поскольку в [2,4] деятельностный механизм формирования объектов в отражении в какой-то мере разобран, можно попытаться получить некоторые следствия, касающиеся математики.
Деятельность обязательно характеризуется некоторыми необходимыми моментами, среди которых основной - отделение "одного" от "другого" на основе применения некоторой меры при необходимости принятия решения - ощущение имеет не много смысла без ответных действий. Еще один момент - непротиворечивость, что связано с жесткой однозначностью при принятии решения: или "да", или "нет". В деятельности осуществляется абсолютно жесткая связь действия "да - нет" с полученными "данными" "хорошо - плохо". Обстоятельства всегда вызывают определенный отклик. Реальная деятельность происходит с материалом бесконечно сложным, неисчерпаемым по свойствам и связям. Описать реальный неисчерпаемый материал исчерпывающим образом, конечно, нельзя. Однако в реальности отклик "хорошо" или "плохо" - и только один из них - объективно обусловленным образом при воздействии материала на живое вырабатывается обязательно - пока состояния материала (среды) не разрушают субъекта (а такие состояния, как мы знаем, бывают).
Мы не знаем, как конкретно происходит выработка у субъекта того или иного ощущения, упрощение отражения по сравнению с отражаемым, оценка ситуации, но пока существует деятельность, это происходит всегда. Для выработки же отклика в имитационной схеме требуется, во-первых, чтобы все необходимое было определено формально в явном виде. Во-вторых, чтобы подобная однозначная выработка того или иного отклика (решения) происходила в ясной, без сокрытий, причинной формально-логической схеме тоже всегда, сам "материал", с которым работает аппарат, вырабатывающий отклики, должен быть обозримым, достижимым для аппарата, не превосходить его по сложности (что, как известно из исследований по основаниям математики, обеспечить мудрено). В общем случае материал не может не быть шире, чем тот, на котором отклик вырабатывается, так как условия выработки отклика содержат дополнительные условия, которым весь потенциальный модельный материал не обязан удовлетворять. Это имеет место и в реальности (условие существования субъекта), и в математике. В формальной схеме при одном и том же языке условия, указывающие материал и аппарат выработки отклика на него, более ограничительны, чем условия, указывающие только материал.
Границы и непротиворечивость появляются одновременно. Соответствующая логика, разумеется, двузначная: или по одну сторону границы, или по другую, третьего не может быть. Принципы деятельности, связанные с применением меры, установлением границ, отнесением состояний по ту или иную сторону границы и т.д., едины для всего живого, не зависят от конкретного мира, в котором находится субъект. По этой причине и математика - сама по себе - в разных мирах одна и та же. В связи с разными условиями, опытом и историей в этих мирах неизбежно будут разными общий уровень математических разработок и области интереса, но математики разных миров в принципе смогут понять друг друга. Более того, и предыдущее отсюда следует, вся математика потенциально однозначно определена, т.е. как бы вся уже существует в потенции: для любого вида модельного материала и каждого способа работы с ним верный результат не зависит от конкретного математика, который "только" обнаруживает его в математическом мире.
Ясно также, что при математической имитации деятельности возникает именно формальная логика, а не диалектическая, работающая с неисчерпаемым материалом. Для получения определенного результата в модельной имитации деятельности необходима полная определенность имитационной схемы - замкнутость системы свойств материала и способов действия, чтобы критерий выбора решения срабатывал четко причинным образом. Поэтому в идеале у модельной среды не должно быть состояний, безразличных для критерия, на которые он просто не реагирует. Следовательно, в идеале математики, к которому стремились, требуя полной замкнутости и непротиворечивости схем, ни о какой неисчерпаемости свойств среды, превосходящей мощь критерия, не может быть речи. Причина принципиальных трудностей при построении некоторых разделов математики (например, дифференцирования) заключалась в попытках слишком узкими формальными средствами ("логически") оперировать с не вполне поддающимся им, в каком-то смысле неисчерпаемым материалом. Напрасны надежды разработать универсальный аппарат, способный однозначно обрабатывать любые предъявляемые ему объекты, хотя бы и определимые в данной схеме. В формальной схеме невозможно решить, есть бог или нет, что раньше, курица или яйцо, или кто виноват, правительство или избравший его народ. Можно сказать, для формальной логики пресловутое третье - это диалектика, выясняющая различные степени важности разных причин и связей. В физике различные утверждения, объяснения и доводы имеют различные степени надежности. В математике же теоремы по степени точности не различаются.
Итак, выработка реакции ощущающего организма на состояние среды определенна (даже если мы не знаем, как конкретно это происходит). Именно по такому типу механизма прямой выработки отклика строится математическая теория (но не работа математика, развивающая математику): дано что-то; указано, как на "это" реагировать; дальнейшее состоит в получении следствий. Можно варьировать заданные обстоятельства, правила реагирования на них и варианты вопросов, но сам характер задачи остается неизменным. Именно на построение таких дедуктивных систем - есть то-то, действует так-то, получайте возможные в таких условиях ответы - направлена математическая работа.
Эти системы есть аналог основанного на ощущениях механизма упорядочения, оформления, структурирования материала в отражении его субъектом. Но они не только аналог. В действительности они есть развитие способностей субъекта к субъективному структурированию и оценке материала. Они приготавливаются для пользователя как инструмент для выработки оснований для действий.
То, что они формальны и дедуктивны, не позволяет им работать с реальным, неисчерпаемым миром самостоятельно. Требуется, чтобы материал для их применения поставлялся другими, диалектическими науками, например, физикой. Это науки, способные строить частные, конечные модели мира, с которыми уже могут работать формальные методы. Науки, изучающие природу, что в ней и как есть, разумеется, не могут быть дедуктивными.
Так же, как на первоначальном уровне объекты в отражении мира выделяются границами, устанавливаемыми с помощью непосредственного ощущения, на более высоком - добавляются обыденные знания и навыки, на еще более высоком и развитом - научном - структурирующая роль все больше переходит к искусственному аппарату: наукам о природе совместно с математикой. В целом соединение математики и наук о природе есть своеобразный усилитель (продолжение) организменного аппарата выработки у субъекта оценочного отклика на состояние среды - так же, как орудия труда есть продолжение и развитие руки.
Итак, математика разрабатывает принципы и результаты деятельности по формированию объектов вообще, как бы вырабатывая заготовки для описания в принципе возможной формирующей, структурирующей деятельности реального субъекта и ее результатов, и в этом заключается один из источников ее универсальности. Уместные применения математики для "не совсем той" деятельности на "не совсем том" материале возможны, поскольку в связи с относительной устойчивостью ощущений приемлемы не абсолютно точные результаты деятельности, т.е. и результаты применений математики в практической деятельности. Это второй источник универсальности математики. Если бы в приложениях требовался абсолютно точный результат, то математика (как и вся структурирующая деятельность субъекта) не только не оказывалась бы универсальной, но и вообще никогда не была бы чему-либо адекватной и полезной, исключая случай абсолютно точной естественной модели (описывающей тогда всю реальность вместе со всеми "начальными условиями") и соответствующей исчерпывающей математики, что, разумеется, нереально. Именно в верном отражении общих аспектов деятельности, в удовлетворительности приближенных результатов, а также в общей, так сказать, причинности материального мира и заключается (не вполне, конечно, понимаемый) источник "непостижимой эффективности математики в естественных науках" [8]. Приложения математики, имитирующей определенные этапы деятельности и предсказывающей на моделях некоторые ее результаты, успешны в той же мере, в какой может быть успешной сама деятельность. Если кто-нибудь понимает, почему мы уверены, что, ударяя молотком, мы можем забить гвоздь, он может считать, что отсюда очень недалеко и до понимания причин эффективности математики.
Таким образом, проясняется отношение математики к реальности. По этому вопросу существуют разные мнения. Одни считают математику чистым порождением ума, не связанным происхождением и сущностью с реальным внешним миром. Другие полагают, что она отражает реальные связи, существующие в нем. Дискуссии, ведущиеся на таком уровне, бесплодны. И те, и другие и правы, и неправы. Само возникновение таких полярных позиций свидетельствует о вкладе в порождение математики как объективной реальности, так и субъективного фактора, что и отражается в появлении этих позиций при абсолютизации того или иного вклада. Правда, обычно сторонники одного из этих взглядов чувствуют также весомость противоположного, но дальше этого дело не идет.
Кажущаяся безотносительность математики к любой реальности - "математика сама по себе" - связана с тем, что комбинирование различных исходных положений и действий с ними в математической работе действительно весьма произвольно и формально попросту постулируется - вопрос о том, существуют ли подобные положения и связи в реальном мире, выходит за рамки математики и в ней не рассматривается. В принципе она может не выбирать в качестве материала что-либо из наблюдаемого, а работать с чем-то выдуманным, мифическим - от этого она не перестанет быть математикой. Но хотя в этом плане математика и не имеет обязательного прямого отношения ко "внешней" реальности, сами принципы, по которым она работает, порождены реально существующими принципами деятельности, реальностью отношений субъекта с предметом его работы, и в этом смысле математика отражает объективное. Она отражает не принципы "чистого мышления", будь таковое возможно, а принципы выработки реакции субъекта на обстоятельства материального бытия.
С другой стороны, в результате метафизической абсолютизации первого из указанных в начале статьи факторов, порождающих объект, широко распространен объективистский взгляд на объекты, а именно - отождествление объекта, выделяемого деятельностью на данном материале, с самим этим материалом. Это, по крайней мере неявное, представление о зеркальности отражения отбрасывает моменты, связанные с деятельностью и ее субъективным аспектом, и тем самым все связи, возникающие между объектами и классифицируемые математикой, приписывает только объективному, реально существующему во внешнем по отношению к субъекту мире. Бытовавшие прежде ссылки на реальность в доводах за или против неэвклидовой геометрии основывались на неверном понимании предмета математики, на непонимании исходной модельной произвольности анализируемых материала и процессов, на совершенной необязательности отражения в математических построениях реальных, действительных свойств внешнего мира.
Против изложенной здесь критики "реалистического" представления о математике может возникнуть возражение типа следующего. Как же математика не отражает непосредственно внешнего мира, не вытекает из его свойств и не "обогащается" им, а только изучает следствия применения специфических принципов деятельности к модельному материалу, если, например, она успешно применяется к описанию движения тел или, скажем, колебательных процессов? Где у колебаний струны, вызываемых ее упругостью, деятельность субъекта?
Но, во-первых, в данном выше схематичном определении сути предмета математики не отвергается возможность работы в ней с материалом, характер которого подсказан наблюдениями. Во-вторых, непосредственный итог наблюдения не есть зеркальное отражение реальностей внешнего мира, а есть только некоторым образом вырезанный и приглаженный аспект этих реальностей, без вырезания и приглаживания сам по себе, самостоятельно четко выделенный, не существующий. Никакой строгой периодичности колебаний, какую мы видим у математической струны, в природе нет. Просто так из внешнего мира математика (как и формальная логика) ничего не берет. Что же касается способности математики предсказывать разумные результаты, например, при интерполяции, то причина этой успешности, как сказано выше, зарыта там же, где и воспроизводимость забивания гвоздя - ведь ударяем мы каждый раз, строго говоря, по-разному и при разных обстоятельствах.
И физика пользуется математикой - более или менее широкой и согласованной системой типичных для деятельности структур, операций и выводов - именно постольку, поскольку сама получает свои данные в деятельности и должна (только так и может) их выразить в ее (деятельности) терминах. Соответственно, и оправдание объективистского понимания физических законов ссылками на возможность или необходимость их выражения на языке вневременной и абсолютной математики несостоятельно и ложно.
Ввиду того, что математика изучает результаты произвольной деятельности, ограничиваясь лишь использованием характерных для деятельности принципов отделения одного от другого, непротиворечивости, той или иной определенности результата, не возникает собственно математических предпочтений ни развитию аппарата на базе теории множеств, ни "конструктивистским" построениям, и т.д. Выбор таких схем должен производиться извне математики в основном, видимо, по удобству, мощности и эффективности схемы в соответствующей сфере приложений - желательно с предварительным анализом адекватности схемы реальному состоянию дел.
Следует подчеркнуть существенное отличие математики от наук о природе. Формальное постулирование в математике исходных принципов, положений и свойств объектов на языке деятельности может приводить к определенным результатам при некоторой конечности свойств материала: постулируемые свойства должны быть такими, чтобы их можно было указать согласно некоторому правилу. Во всяком случае конечность материала в каком-то роде должна быть, иначе результат формальным и замкнутым образом не получится. Но тогда материал, с которым работает математика, не может быть аналогом неисчерпаемой реальности, с которой работает, скажем, физика. Аналогом этого материала могут быть объекты, структуры физики, уже выделенные ею (не зеркально) из неисчерпаемой реальности, т.е. конечные, могущие быть заданными (описанными) объекты. Своими средствами математика не способна получить для себя материал из внешнего мира. Физика же, работая неформально, это делает, что частенько озадачивает и раздражает "строгих" математиков. Но при этом она не может делать выводов без риска ошибиться. Физика может ошибаться, но способна получать полезный результат и продвигаться вперед в обстоятельствах, непосильных для безошибочной математики (так же соотносятся диалектическая и формальная логики). Никакой этап подлинного физического изучения мира никогда не начинается с отбора полного набора аксиом. Никакой набор аксиом не может охватить свойств мира, а без этого формальные выводы результатов невозможны. И даже уже завершенная, замкнутая модель, частная физическая теория, изложенная по типу аксиоматической теории, нуждается в метатеории, нестрого (диалектически, проблематично) указывающей место этой физической модели в общей картине мира.
Вследствие привычки к такой практике физики довольно часто не удосуживаются представить результаты своих работ в замкнутом виде даже когда это возможно, а уж при изложении пути к этим результатам лишь молчаливо подразумевают (если вообще осознают) наличие решающих неформальных шагов в своих действиях. Под неформальным шагом здесь понимается не такой, который потенциально существует в данной системе, но из данного пункта плохо виден и о котором надо было догадаться, чтобы продвинуться в решении задачи - догадываться надо и в математике, - а такой, необходимость которого нельзя формально обосновать ни априори, ни апостериори. Ведь нельзя строго логически доказать, что какая-то физическая теория верна или наилучшая из возможных. Ее уместность, помимо удовлетворительного объяснения конкретных экспериментов, проверяется согласованием со всем другим физическим знанием, встраиванием в это знание и его развитием, что, кстати, также не может быть строго формально показано [3,4]. Все физические теории и сама система знаний о реальности в большей или меньшей степени, но неизбежно носят налет гипотез ad hoc. Будучи предназначенными для описания реальности, они не могут быть абсолютно подтверждены как из-за ограниченности практики, так и по причине своей конечности и ограниченной адекватности. В математике же любая конкретная система имеет право на автономность и самостоятельную, абсолютную ценность.
Получение правильного результата в дедуктивной и индуктивной системах деятельности можно сопоставить соответственно с выработкой реакции ощущения и выработкой представлений о причине данной реакции. Для выработки того или иного состояния ощущения ума не надо, оно и так выработается. При этом рассуждать и возвращаться к началу для критического пересмотра не требуется. Это прямая задача. В ней решение прямо следует из данных условий. Выработка же верного представления о причине реакции - это обратная задача, которую формальным прослеживанием событий вспять решить в общем случае невозможно. Некоторые авторы, например, Фейерабенд, даже пытались формально доказывать, что рост объективного содержания в знаниях о природе невозможен. Не требуется особого ума, чтобы непроизвольно отдернуть руку от огня. А вот научиться действовать так, чтобы не приходилось это делать постоянно, без соображения невозможно.
Таким образом, в идеале математика из в некотором смысле конечного и обозримого получает конечное формальным образом, а физика (как и все другие науки о природе) конечное получает из закономерного, причинно обусловленного, но бесконечного и формально необозримого, обязательно совершая и неформальные шаги. Не лишено оснований опасение, что чрезмерное стремление к аксиоматизации курсов физики способно создать у изучающих ее превратное о ней представление как о разделе математики и воспрепятствовать достаточному развитию у них физической интуиции и совершенно необходимой для физика (по большому счету) способности находить плодотворные неформальные решения. "Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им в сущности безразлично, о чем они говорят. ... Другими словами, математик готовит абстрактные доказательства, которыми вы можете воспользоваться, приписав реальному миру некоторый набор аксиом. Физик же не должен забывать о значении своих фраз. Это очень важная обязанность, которой склонны пренебрегать люди, пришедшие в физику из математики. Физика - не математика, а математика - не физика. ... в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром." Так говорил Фейнман [9].
Автор настоящей заметки ориентируется в основаниях математики значительно менее уверенно, чем в физике, поэтому высказанные здесь (и в [2,4]) доводы и положения носят отчасти предположительный характер и выдвигаются как предложения для обсуждения, хотя интерпретация математики как некоторой формальной имитации системы принципов и операций структурирующей деятельности субъекта представляется явно справедливой.
Л И Т Е Р А Т У Р А
[1] Губин В.Б. Энтропия как характеристика управляющих действий // Журнал физической химии, 1980. Т. 54. В. 6. С. 1529-1536.
[2] Губин В.Б. О "деятельностном" механизме выделения формы объектов. - Деп. ВИНИТИ 3340-В88, 1988 г. 44 с.
[3] Губин В.Б. О совместимости, согласованности и преемственности физических теорий // Философские науки, 1989. No 12. С. 107-112.
[4] Губин В.Б. Физические модели и реальность. Проблема согласования термодинамики и механики. Алматы: МГП "Демеу" при изд-ве "Рауан" Министерства печати и массовой информации Республики Казахстан, 1993 г.
[5] Губин В.Б. Прав ли Пригожин? (Согласование термодинамики с механикой и деятельностный механизм формирования объектов) // Философские науки, 1995. No 5-6. С. 140-151.
[6] Перминов В.Я. О "математическом натурализме" Ф.Китчера // Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988. С. 32-36.
[7] Китчер Ф. Математический натурализм // Там же, с. 5-32.
[8] Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Этюды о симметрии. М.: Мир, 1971.
[9] Фейнман Р. Характер физических законов. М.: Мир, 1968. С. 55-56.
Российский университет дружбы народов