ОБ ИСТОЧНИКАХ АПРИОРНОСТИ
МАТЕМАТИКИ И ЛОГИКИ

Интенсивные обсуждения оснований математики и логики продолжаются более века. Основательный методологический итог им к настоящему моменту подведен в монографии В.Я.Перминова “Философия и основания математики” [1].

Автор пишет: “...общая идея изменчивости знания плохо согласуется с законами логики и простыми математическими истинами... ([1], с. 3). Каждый, кто в достаточной степени проник в логику математических рассуждений, ясно осознает, что математика - не физика, что ее выводы не проверяются на опыте, они не являются исторически преходящими и никогда не корректируются опытом в том смысле, как это происходит с законами опытных наук ([1], с. 5)... Некоторый математический инстинкт принуждает нас рассматривать математику как систему абсолютно надежных утверждений и выводов.” ([1], с. 6) “Является несомненным фактом, что математика содержит в себе принципы, обладающие абсолютной надежностью, имеющие вневременное значение...” ([1], с. 3) “Основное положение... при описании особенностей математического доказательства состоит в том, что в его основе лежит система некорректируемых очевидностей, которая является глубинной основой исходных математических теорий и операциональной основой математического мышления вообще. Принимая это положение, мы ... приходим к некоторому варианту априористской философии математики.” ([1], с. 42)

Далее: а что же в математике возможно? “Уяснение того обстоятельства, что ... в математике, в принципе, приемлема любая дедуктивная система, обладающая непротиворечивостью, было громадным прогрессом в философии математики, истинным освобождением математики от гнета внешнего мира.” ([1], с. 8-9) Кроме того, В.Я.Перминов полагает: “Сфера математики определяется множеством выводов, редуцируемых к аподиктической очевидности.” ([1], с. 27)

Со всем этим можно согласиться.

Так каково же происхождение математики вообще и каков конкретный источник ее абсолютной надежности, устойчивости ее утверждений, а также априорности ее и логики?

Принципа априоризма придерживались Лейбниц и Кант. “Кант... отделил математику от опытных наук как науку о форме мышления... Слабость кантовского априоризма в обосновании математики проистекает из непроясненности истоков априорного знания.” ([1], с. 53) В.Я.Перминов не удовлетворен тем, что “априорное знание понимается Кантом в качестве формы мышления, присущей ему по его природе” ([1], с. 53), которая может быть различной у различных существ: “Кант... допускал, что существа иной природы могут иметь другие априорные представления.” ([1], с. 54) (Следует заметить, что по подобному обоснованию люди, будучи различными, должны и обладать различными априорными представлениями.) С другой стороны, “априорное у Гуссерля абсолютно в том смысле, что оно не зависит от субъекта мышления ни в личностном, ни в родовом плане: оно определяется только своим познавательным отношением и не допускает каких-либо вариаций при переходе от одного типа мыслящих существ к другим. Система законов логики, по Гуссерлю, едина для любого мышления, будь то мышление людей, богов, чудовищ или ангелов. Идея априорного знания как знания логически независимого от субъекта доводится у Гуссерля до своего предела.” ([1], с. 85)

Сам же В.Я.Перминов придерживается праксеологического обоснования исходных принципов, выступающих как онтологически истинные, априорные. Аподиктически очевидное основание математики отражает некоторые общие формы мышления. Законы логики генетически восходят к “деятельностной ориентацией сознания”, что “является одновременно и их обоснованием в качестве предельно надежных.” ([1], с. 156)

Что же такое инвариантное имеется у людей, богов и чудовищ? Что на самом первичном уровне обладает некоторыми стандартными чертами, которые могли бы образовать исходную основу для построения математических и логических структур, конструкций, объектов и их комбинаций?

Вывод о близости математики и логики к чему-то исходному может и, по-видимому, должен производиться на основе близости, аналогии действия аппаратов этих сфер. Аппараты же действия математики и логики выделяются среди других наук своей дедуктивностью. И в мире, точнее - в жизни, есть такие, имеющие принципиальное, сущностное значение, процедуры, характерные именно и только для жизни, но не для неживой природы. Это принятие решения на деятельность, выработка основания для отклика на воздействие мира. Порядок выработки в целом имеет дедуктивный характер: предъявляется ситуация, она оценивается данным субъектом или организмом - в конкретных, совершено разных аспектах, как материальных, так и идеальных, от естественных до общественных, - но схема процедуры одна. Выработка оценки, не обязательно сознательная, - это первое действие, первый этап деятельности. В простейшем виде это выработка того или иного состояния ощущения. Второй этап - реакция на ощущение.

Что же делает ощущение? Ощущение на основании некоторой меры устанавливает границы, как бы структурируя в том или ином отношении отражение мира у субъекта, выделяя границами объекты. То же самое делает оценочный этап более сложного, развитого действия. Так вот математика представляется формализацией этого этапа структурирования модельного материала с помощью меры и с добавлением перебора и упорядочения границ и объектов. В таком случае математика выступает продолжением, усилением, совершенствованием структурирующей деятельности ощущения подобно тому, как орудия труда есть продолжение руки.

А логика - это формальное выражение действия обоснованности, правильного следования причинности в обращении с объектами, необходимости привязывания к некоторой упорядоченности вообще. Логичность - это необходимо уместное увязывание действия с основанием. И поскольку выработка отклика (оценки) - это тоже деятельность с необходимостью правильного, адекватного результата, то при ее формализации используется формальная логика. И математика пользуется логикой.

Итак, исходная логика идет от отражения необходимости учета причинности для получения желаемого результата - цели деятельности, скажем, желательной реакции на ощущение. Действие - второй этап реагирования на воздействие среды. Если надо получить такой-то результат или использовать такое-то свойство, то обратитесь в ту область, которая ограничена вот этой границей.

Основной базис формальной логики вполне однозначен. Затем уже можно развивать более сложные варианты (конструкции) логик, скажем - трехзначные, но всегда рассуждения на каждом этапе будут проводиться по правилам, так сказать, фундаментальной двузначной логики. (Если это не так, то возникает случайность.) Базисная логика двузначна, поскольку первичные варианты движения - по ту или другую сторону границы.

Таким образом, самым глубоким основанием для математики и логики являются принципы выработки ощущения с его установлением границ и причинной реакции на ощущение. Здесь, в отличие от случая ссылок на сознательных субъектов, в единообразии свойств и практического опыта которых можно сомневаться, исходным является сам принцип необходимости структурирования материала (с помощью той или иной меры) и учета причинности. Это дает абсолютную надежность и устойчивость результатов формально правильно проведенных процедур модельной деятельности с модельным материалом.

Этот подход изложен в [2-5].

Много позже написания предыдущего, летом 2004-го года, появился, наконец, давно обещанный сборник статей разных авторов “Математика и опыт” [6]. В связи с положениями настоящей заметки в нем интересно изложение и анализ С.В.Добронравовым в статье “Проблема априоризма в русской философии математики начала ХХ в.” [7] позиции Г.И.Челпанова (известного психолога и логика, основателя института психологии в Москве) по проблеме эмпиризма и априоризма и о происхождении счисления. Челпанов доказательно отрицает эмпиризм в возникновении числа и верно намечает путь: “...счисление возникает из сравнения остановок, которые сознание констатирует, наблюдая свои собственные процессы” (независимо от природы реальности). Здесь нет только термина “граница”, которую устанавливает субъект в сознании (и которой, вполне четкой, может не быть во внешней реальности), но понятие которой всё же по существу имеется и принципиально используется. Так что “понятие числа есть продукт развития, ... оно не существует в уме в готовом виде.” Но “без так называемого внешнего опыта понятие числа не могло бы возникнуть”. То есть хотя эмпиризм отвергается, но абсолютный априоризм также несостоятелен, числа - не продукт совершенно “чистого разума”. Человек (и вообще всё ощущающее) не может действовать (реагировать) иначе как с помощью разграничений реальности на области, объекты (которых, таких четко отграниченных, во внешней реальности может и не быть), но до опыта он ничего этого не знает и не может знать.

С.В.Добронравов резюмирует позицию Челпанова: “...сам опыт является не источником, а лишь условием создания понятия числа, поводом для возникновения создающей понятие числа деятельности внимания. Этим объясняется и формальный характер числа, его безразличие к счисляемым объектам: внимание может быть направлено на любой объект, оставаясь самим собой. Таким образом, согласно Челпанову, априорные понятия возникают как некоторые средства человеческой деятельности. Человек ставит перед собой определенные цели; для осуществления этих целей он предъявляет некоторые требования (т.е. критерий меры, сознательный или бессознательный. - В.Г.) к окружающей его действительности, исходящие из соответствующего направления его сознания; эти требования - условия возможности осуществления его действий, а потому они вытекают не из внешнего мира, а из его собственного существа в его взаимодействии с внешним миром, привносятся им во внешний мир “от себя”. Они-то и есть априорные формы познания.”

В общем, линия рассуждений Челпанова в основных чертах правильна и по существу более верна, чем известные позиции Ж.Пиаже и Ф.Китчера, которые связывали математику с операциями деятельности, в том числе реальной физической (см. [2,8]). У Челпанова это результат деятельности в чисто субъективной сфере.

В то же время ясно видно, что более точное определение первичного пункта - ощущения, - где появляется граница и в результате среда в отражении разделяется на области, позволяет более обоснованно и точно анализировать природу математики и логики и помимо этого рождает новые возможности анализа проблемы выделения и определения объектов и систем [9].

[1] Перминов В.Я. Философия и основания математики. - М.: Прогресс-Традиция, 2001.

[2] Губин В.Б. Математика как формализованная имитация этапа структурирования  мира в отражении субъекта / Философские науки. 1996. № 1-4. С. 196-206.

[3] Губин В.Б. О связи стилей математического и физического мышления с природой задач математики и физики / Вопросы философии. 1998. Вып. 11. С. 142-148.

[4] Губин В.Б. О приведении к очевидности как доказательстве в реальности /     Философские науки. 2002. № 3. С. 144-157; № 4. С. 141-148; № 5. С. 151-157.

[5] Губин В.Б. О физике, математике и методологии. - М.: ПАИМС, 2003.

[6] Математика и опыт / Под ред. А.Г.Барабашева. - М. Изд. МГУ, 2003.

[7] Добронравов С.В. Проблема априоризма в русской философии математики     начала ХХ в. // Математика и опыт. С. 205-219.

[8] Перминов В.Я. О “математическом натурализме” Ф.Китчера //     Методологический анализ оснований математики. М.: Наука, 1988. С. 32-36.

[9] Губин В.Б. Физические модели и реальность. Проблема согласования      термодинамики и механики. Алматы: МГП “Демеу” при изд-ве “Рауан”   Министерства печати и массовой информации Республики Казахстан, 1993.  Гл. 4.

[ Предыдущая статья ] [ Следующая статья ] [ На оглавление книги ] [ На главную страницу сайта]