В.Б.Губин. О физике, математике и методологии. - М.: ПАИМС. 2003.
“Математика и опыт” // Сб.
статей.
М.: Изд. МГУ. 2003 г.
ОБ ОТНОШЕНИИ МАТЕМАТИКИ К РЕАЛЬНОСТИ
В.Б.Губин
Российский университет дружбы народов
О субъективном порождении границ
Автор настоящей заметки пришел к “математической” тематике вполне неожиданно: как к некоторому следствию результатов, полученных при исследованиях в двух других направлениях.
Одно из них заключалось в попытке разобраться в проблеме обоснования термодинамики и статистической механики. В этой проблеме есть две фундаментальных трудности. Одна связана с непосредственной (фактически - объективистской и редукционистской) несовместимостью детерминизма и вероятности, с разницей размерностей фазовой траектории (и тем более фазовой точки) и фазового объема. Вторая - с невозможностью (опять же объективистской и редукционистской) согласовать термодинамическую необратимость с обратимостью механики. Обе эти трудности проявляются при введении и изучении характера и поведения классической термодинамической величины - энтропии. На ее примере поясню упомянутые трудности.
Для традиционного определения энтропии следовало в первую очередь определить степень неравновесности распределения частиц (скажем, по объему), то есть как-то обоснованно ввести функцию распределения, чтобы оценить вероятность состояния. Замечу, что в некоторых курсах статмеханики текст неожиданно чуть ли не прямо начинается с предложения: “Возьмем распределение...” Однако оказывается, что какого-то объективно выделенного, преимущественного разбиения области на части не существует, поэтому, строго, формально говоря, энтропия системы механических частиц в объеме никаким естественным образом, чисто объективно не определима. Вообще говоря, эта трудность давно известна. О ней написано, например, даже в популярной книжке Б.В.Гнеденко и А.Я.Хинчина [1], но в учебниках для вузов и в подавляющей массе курсов для специалистов о ней не упоминают. Явно многие авторы, хорошие прикладники и преподаватели, о ней просто не задумывались и уж во всяком случае не придают ей принципиального значения. Так что в учебниках вероятность состояния традиционно иллюстрируют картинкой объема, разбитого пополам, с небольшим числом частиц в одной части и с большим в другом, простодушно не подозревая субъективной обусловленности выбора такого разбиения из несчетного множества других абстрактно возможных, которые привели бы, естественно, к другим оценкам состояния. Это первый субъективный момент структурирования отражения состояния. Без этого шага, без вмешательства субъективного ни о термодинамическом состояния и ни о каком ином, отличном от механического (предполагаемого исходным в модели), не могло быть и речи. Более пристальный анализ показал, что в действительности разбиения определяются (и задача о вероятности обнаружения того или иного распределения частиц ставится однозначно) в каждом случае конкретными действиями субъекта (например, реальным введением перегородок), причем эти действия очень просты и грубы по сравнению, скажем, с большинством абстрактно возможных и, кроме того, весьма единообразны у одного субъекта и у разных, что создает впечатление естественности, единственности и объективности разбиения.
Но пусть некоторое разбиение выбрано и более или менее интуитивно приемлемая оценка значения энтропии системы задана, определена. И пусть теперь в начале процесса состояние явно неравновесно по обычным представлениям, например - есть выделенный сгусток частиц. Термодинамика вслед за обычным опытом утверждает, что этот сгусток рассосется, и в дальнейшем навсегда установится равновесное состояние. Однако механическая природа системы не допускает этой необратимости. Теорема Пуанкаре о возвращении даже указывает время, за которое система по крайней мере один раз вернется к исходному состоянию с заданной точностью. В итоге получается, что на том уровне, на котором существует механика, термодинамика не получается, отсутствует.
Как разъяснил М.Смолуховский [2] в начале ХХ века, термодинамическая необратимость есть не объективная вещь, не закон природы самой по себе (без субъекта), а впечатление субъекта, который не может наблюдать очень долго и попросту не может дождаться чрезвычайно редкого возврата заметно неравновесного состояния (а возвращения мелких отклонений легко наблюдаются в микроскоп). Это объяснение - правильное. Таким образом, есть и второй субъективный момент структурирования реальности (в данном случае - мера временного поведения систем), в результате которого перед субъектом возникает специфический образ реальности (необратимая термодинамика), сам собой не следующий из субстрата системы, не порождаемый им.
Итак, получается, что термодинамическая система не возникает сама, а выделяется некоторыми действиями, ограничениями и предпочтениями субъекта. Субъект в соответствиями со своими свойствами и обстоятельствами бытия набрасывает сеть окон, через которые видит мир, и мир предстает перед ним в виде объектов, которых в формально-строгом виде нет (хотя они и зависят от материала, который отражают, на котором строятся). Так, реально происходят отдельные удары частиц о стенки, а не действует какое-то постоянное, размазанное по поверхности объема давление, но тем не менее оказывается возможным в некоторых рамках представить, изобразить мир как термодинамический, да так убедительно, что многие о нем так и думают на самом деле.
Во всяком случае, объект появляется в отражении после некоторого действия по его выделению, по структурированию - не физическому, не реальному, а как бы навязываемому материалу в процессе его отражения. [3]
Добавлю, что обязательным моментом, необходимым для существования и работоспособности подобной схемы выделения объектов, структур и теорий является существенное, принципиальное присутствие в каком-то пункте некоторой допустимой (приемлемой для субъекта(ов)) неточности, обеспечивающей выделенному объекту в меру определенную устойчивость. Не слишком большие различия в обстоятельствах или действиях или неадекватности отражения не приводят к кардинальной практической несостоятельности (неработоспособности) картины, принятой в качестве руководства к действию. Хотя подобную неточность явно или неявно постоянно имеют в виду, подразумевают при рассмотрениях адекватности теорий, однако все же ее методологическое значение недооценивалось, и она не входила явно во многие методологические схемы. Например, без учета допустимой неточности работы теории не может работать принцип соответствия - что как раз и показывал П.Фейерабенд, фактически требовавший полного совпадения теорий для возможности вообще их сопоставления. Однако в формулировках принципа соответствия этот момент отсутствует. Именно в связи с этим до сих пор не преодолены трудности получения классической механики как предела квантовой при h ® 0 (ведь, к примеру, дискретный спектр допустимых состояний частицы в яме ни при каком сколь угодно малом значении h не становится непрерывным).
Источник и основание допустимости этой неточности выявился с другой стороны - из анализа некоторых принципиальных черт наблюдателя, чего мы сейчас кратко коснемся.
Итак, вторым направлением была попытка разобраться с критериями живого. Получилось, что принципиальной гранью, разделяющей все сущее на две непересекающиеся части, является наличие или отсутствие ощущения (отношения) по меньшей мере типа “хорошо-плохо”. Работа аппарата ощущения как формальная, так и по результатам, представляет особый интерес.
В модели мира с неисчерпаемой и бесконечно делимой материей никаких самостоятельных границ и, следовательно, самостоятельных, четко выделенных объектов нет (на чем и основывал Беркли свое отрицание материализма, как будто материализм требует существования материи в форме предметов!). Именно ощущение, порождающее импульс к деятельности и в свою очередь давление на себя деятельности, нуждающейся в указаниях ощущения, приводят к неизбежной выработке какого-то из относительно немногочисленных состояний ощущения. В некотором смысле каждое из них соответствует (вырабатывается в ответ) целому множеству состояний отражаемого материала, так что отклик - ощущение - оказывается относительно устойчивым, и лишь при переходе через некоторую меру сменяется другим. Вот замечательные слова Лессинга по этому поводу: “В природе все тесно связано одно с другим, все перекрещивается, чередуется, преобразуется одно в другое. Но в силу такого беспредельного разнообразия она представляет собою только зрелище для беспредельного духа (т.е. только бесконечно способное существо могло бы в ней разобраться. - В.Г.). Чтобы существа ограниченные (это, конечно, мы. - В.Г.) могли наслаждаться ею, они должны обладать способностью предписывать ей известные границы, которых у нее нет, способностью абстрагировать и направлять свое внимание по собственному усмотрению. Этою способностью мы пользуемся во все моменты нашей жизни; без нее наша жизнь была бы немыслима; из-за бесконечного разнообразия ощущений мы бы ничего не ощущали. Мы непрестанно были бы жертвою минутных впечатлений, мы бы грезили, не зная, о чем грезим.” [4]
В конечном счете на ощущениях строится в отражении картина мира с относительно устойчивыми областями, разделенными границами - даже когда резких границ в отражаемом нет. Ввиду относительной устойчивости ощущения объекты и теории, возникающие в отражении, никогда точно не описывающие реальности, все же могут быть приемлемыми в некотором круге условий и обстоятельств.
В итоге две указанные сферы вопросов - о выделении объектов субъектом в отражении и об основных особенностях выработки ощущения - сблизились, прояснив механизм возникновения образов мира в отражении в виде объектов и теорий и обеспечив обоснование существования теорий. Основным фактором, толчком, источником структурирования мира в отражении оказалась процедура выработки ощущения.
Математика как формализация структурирующей деятельности отражения
А теперь зададимся вопросом: какая наука или отрасль науки явилась бы формальным изображением или имитацией действия (работы) ощущения?
Посмотрим на порядок и форму действия ощущения. Имеется некоторое распределение материала, воздействующего на аппарат выработки того или иного состояния ощущения. По иному можно сказать, что аппарат применяется к данному материалу. Ощущение вырабатывает отклики разного качества в зависимости от материала и самого аппарата выработки отклика. Оглядывание материала приводит к представлению, что материал разделен на области (объекты) с некоторыми границами.
По каким основаниям и законам аппарат вырабатывает то или иное состояние ощущения, мы не знаем, но вырабатывается оно всегда, пока субъект функционирует в своем главном, существенном качестве. Если бы мы захотели имитировать выработку ощущения, то нам пришлось бы задать правила выработки отклика (включая меру или набор их) и предоставить материал для упорядочения и оценки. То есть формальной имитацией выработки ощущения явилась бы схема применения системы правил получения того или иного отклика на заданный материал (среду). Эта схема действия есть дедуктивная схема. По способу действий и по сути подразделения оцениваемого материала на классы с соответствующими границами она соответствует математике.
Вообще существуют два вида возможных формализаций (или формальных имитаций) деятельности, связанной с ощущением.
Наличие ощущения бессмысленно без действий, причинно следующих за тем или иным его состоянием. С другой стороны, без ощущения, являющегося некоторым отношением, отличным от простого точного “физического” воздействия, сама деятельность лишена смысла, отличного от простой и непосредственной физической реакции в ответ на физическое воздействие. Без этого нового уровня, без сферы субъективного отношения ничего кроме “физических” взаимодействий не было бы. Деятельности нет без ощущения, как и ощущения без деятельности. И вот весь этот комплекс получения оценки состояния и причинно следующей за ней деятельности в зависимости от оценки может быть формализован, формально имитирован двумя связанными системами: алгоритмом причинно обоснованного вывода следствий (действий) - формальной логикой, и алгоритмом оценки состояния, разграничивающей материал для заинтересованного оперирования им - математикой.
Характерные черты и элементы оценочного этапа деятельности напоминают операции, производимые в математике: те же выработка решения (отклика), установление границ на основании некоторой меры (которой нет в формальной логике!), выделение целого, объектов, их перечисление, группирование, объединение в классы и т.д. Все эти операции - порождение и средство деятельности. Поэтому можно полагать, что чистая математика изучает возможности и результаты в принципе произвольной (но формально обусловленной) модельной деятельности по структурированию произвольного модельного материала, а также разрабатывает модельные свойства возможного материала [5, 6]. В.Я.Перминов указывал ([7], с. 35), что Ж.Пиаже и Ф.Китчер считали исходные математические идеализации связанными с операциями деятельности. Правда, Ф.Китчер имел в виду [([8], с. 24)] операции как мысленные, так и реальные. Но последних нет как раз без “мысленного” структурирования, так что в конечном счете все структурирование происходит от мысленного. Именно система операций этапа предварительного, субъективного структурирования материала и служит основой элементов и принципов математики [6], и математика есть инструмент для расширения и развития возможностей оценки предъявляемой среды с помощью ее структурирования по типу выработки ощущения.
Границы и непротиворечивость появляются одновременно. Соответствующая логика, разумеется, двузначная: или по одну сторону границы, или по другую, третьего не может быть. Принципы деятельности, связанные с применением меры, установлением границ, отнесением состояний по ту или иную сторону границы и т.д., едины для всего живого, не зависят от конкретного мира, в котором находится субъект. По этой причине и математика - сама по себе - в разных мирах одна и та же. Существование равенства 2х2=4 не зависит от физики мира, в котором есть субъект, потому что оно возникает просто из перебора границ - реальное существование которых в этом мире вообще необязательно. В связи с разными условиями, опытом и историей в этих мирах неизбежно будут разными общий уровень реальных математических разработок и области интереса, но математики разных миров в принципе смогут понять друг друга. Более того, и предыдущее отсюда следует, вся математика потенциально однозначно определена, то есть как бы вся уже существует в потенции: для любого вида модельного материала и каждого способа работы с ним верный результат не зависит от конкретного математика, который “только” обнаруживает его в математическом мире.
Дедуктивные математические системы есть аналог основанного на ощущениях механизма упорядочения, оформления, структурирования материала в отражении его субъектом. Но они не только аналог. В действительности они есть развитие способностей субъекта к субъективному структурированию и оценке материала. Они приготавливаются для пользователя как инструмент для выработки оснований для действий. То, что они чисто формальны, не позволяет им работать с реальным, неисчерпаемым миром самостоятельно. Требуется, чтобы материал для их применения поставлялся другими, диалектическими науками, например, физикой. Это науки, способные строить частные, конечные модели мира, с которыми уже могут работать формальные методы. Науки, изучающие природу, что в ней и как есть, разумеется, не могут быть дедуктивными.
О различии математики и наук о реальном мире
Вообще познание направлено на то, чтобы мы знали мир и могли выяснять те или иные последствия по типу решения задач по данной аксиоматике. И в физике, и в математике цель - построение дедуктивных схем. Однако каких схем? В физике - в каком-то смысле близких к реальности, что тем или иным способом проверяется, оценивается. В математике - просто формально верно построенных, без оглядки на какое-то соответствие с реальным миром. В этом физика и математика кардинально различаются вплоть до такой степени, что идеал цели, научности и правильности математики оказывается неприменимым к наукам о реальном мире. Непонимание этого приводит многих к превратным представлениям о достижениях и ценностях многих теоретических конструкций, а также к неправомерным и несостоятельным требованиям и претензиям по отношению к вполне научным подходам неформальных наук (еще одна по существу формальная наука - кибернетика, наука об управлении объектами). В математике доказательство заканчивается точкой и остается в таком качестве верным навсегда, как бы сильно ни развилась математика впоследствии. А в физике и во всех науках о реальности, решающих обратные (и всегда конечные) задачи в неисчерпаемо сложной реальности, доказательство не заканчивается никогда. Оно бывает лишь относительно законченным. Странным было бы наличие в наборе математических утверждений (теорем) более и менее убедительных, твердо установленных и сомнительных, да еще в разной степени. А в физике такая ситуация совершенно обычна. Даже после появления некоторой интерпретации, принятой практически всеми, возможно ее неприятие некоторыми учеными, так как невозможно формально доказать, что она - единственно правильна. И у физика должна быть выработана интуиция оценивать теории по степени их обоснованности. В качестве примера можно привести стандартное для учебников разрешение так называемых парадоксов Гиббса (об аддитивности энтропии) с помощью учета квантовомеханической тождественности частиц. “Правильный” (с хорошей интуицией) физик еще до упорядоченных, отчетливых размышлений должен отнестись к этому объяснению как к одному из самых сомнительных в физике. Он должен почувствовать, что это объяснение не встраивается в общую физическую картину. И верно. Оно ведь означало бы, что в классическом мире (без квантовой механики) аддитивности энтропии не было бы, так что тепловая машина работала бы как-то странно, на что вряд ли бы кто согласился. [9]
Математика в классификациях наук стандартно проходит как естественная наука. Однако если отстроиться от ее применений и тем более от наиболее обычных - к физике, - то приходится заключить, что сама по себе она естественной наукой не является. В ней нет требования соответствия ее аксиоматических конструкций чему-то природному или общественному и вообще внешнему [10]. Поэтому говорить по отношению к ней в связи с опытом и реальностью - это говорить всего лишь о ее применении как вспомогательном инструменте. Ее можно только использовать для взаимного согласования конечных и обозримых объектов, выделяемых науками о реальном мире - например физикой или экономикой. Она или язык (о чем только обычно и говорят, если ее считают инструментом), или набор методов и схем оценки материала, причем заданного в удобном для обработки виде - не необозримого, а представленного ей другими частными науками в виде конечных (обозримых для ее аппарата) объектов.
Эйнштейн писал [11]: “Чисто логическое мышление само по себе не может дать никаких знаний о мире фактов; все познание реального мира исходит из опыта и завершается им. Полученные чисто логическим путем положения ничего не говорят о действительности. Галилей стал отцом современной физики и вообще современного естествознания именно потому, что понял эту истину и внушил ее научному миру.”
Интересно, что вполне отчетливое понимание математики как чисто формальной науки, в принципе не зависящей от наук о природе (и обществе), отнюдь не повсеместно распространенное и ныне, выказал еще в позапрошлом веке Вл.Соловьев [12]: “Вообще, математику можно игнорировать самое существо зоологии или ботаники, от этого его наука нисколько не изменится. ...знание математики в известной мере необходимо для физика, но нельзя сказать обратно, чтобы знание физики было необходимо для математика. Напротив, так как математика изучает лишь общие количественные отношения всего существующего (тут, сославшись на “все существующее”, он выразился неточно, но его заключение правильно: - В.Г.), то для нее всякое частное бытие безразлично. Изучая чистые формы пространства и времени, числа (и здесь сами пространство и время совершенно необязательны, автор все-таки сужает природу математики: речь должна идти о зависимостях вообще и об установлении границ вообще. - В.Г.), математику совсем не нужно знать, какие конкретные вещи и явления подлежат этим формам. Всякое применение математических форм к конкретным явлениям положительным - физическим и химическим - есть для математики только частный случай, не имеющий никакой необходимости. Физические и химические явления подчиняются известным математическим законам, но нисколько этими законами не объясняются. ... Физика зависит от математики, но математика нисколько не зависит от физики etc.”
Довольно известен (по крайней мере пока еще) вопрос, заданный Е.Вигнером о причине “непостижимой эффективности математики в естественных науках” [13].
Вопрос можно понять, во-первых, в следующем смысле: почему именно математика применяется для - для чего? - в конкретных науках, и почему именно ее использование придает такую мощь, действенность и результативность применяющим ее наукам, так что без нее они не смогли бы быть настолько эффективными, т.е. успешными с большой точностью и в чрезвычайно разнообразных обстоятельствах? Ответ на вопрос - для чего? - сам говорит об основаниях ее применения: она применяется как инструмент для систематического упорядочения (включая применение мер) материала и как язык для выражения связей между объектами, а также для законообразного сохранения этих связей в процессах (при интерполяциях и экстраполяциях), т.е. для сохранения точности связей при переходе к другим условиям, когда закономерности этих связей установлены. А с малой точностью и в узком диапазоне обстоятельств можно было бы работать и без математики, что когда-то только и делалось на заре человечества и делается в массе случаев сейчас. Более того, она предоставляет удобную возможность задавать новые вопросы, позволяющие уточнить знания, поставить задачу для эксперимента, ибо при затруднениях выразить полученные данные закономерно они не могут быть сохранены, и тогда сам вопрос об их получении отпадает или вообще не возникает. Примерно как письменность нужна в первую очередь для выражения (включая и сохранение) сложных мыслительных построений.
А в остальном математика эффективна по той же причине, по какой вообще эффективна деятельность. Эффективно, во-первых, уместное применение математики, а именно - подходящее применение ее к упорядочению связей конечных (обозримых) объектов, выделенных конкретными науками, а не к самой реальности, что есть забота конкретных наук о природе и обществе. Во-вторых, эффективность возникает лишь при допустимости некоторой неточности результатов. В противном случае никогда никакого успешного предсказания нельзя было бы сделать, и не было бы повторения экспериментов - основы научного подхода. Ни сама математика не способна описать точно мир и ориентироваться и работать в бесконечно сложном реальном мире, ни абсолютно точный результат никогда не может быть получен, и удовлетвориться реальным результатом можно только при ограниченной требовательности. А при наличии двух указанных условий ее применения могут быть эффективными.
В связи с тем, что чистая математика не является естественной наукой, не есть наука о природе или обществе, не требует согласования с чем-то внешним по отношению к ней, для работающих в ней ученых нет внутренней надобности изучать теорию познания реального мира, его устройство и отношение к нему субъекта, а также отношения между субъектами. В математике формально царствует чистая формальность, и многие в ней работающие не понимают самой сути и методологии других наук. Мы и наблюдаем в действительности, что многие математики, весьма неуверенно ориентируясь в реалиях других наук, очень часто без опаски подают “туземцам” советы, якобы снимающие их трудности. Фейнман очень верно подметил [14]: “Математики имеют дело только со структурой рассуждений, и им в сущности безразлично, о чем они говорят. ... Другими словами, математик готовит абстрактные доказательства, которыми вы можете воспользоваться, приписав реальному миру некоторый набор аксиом. Физик же не должен забывать о значении своих фраз. Это очень важная обязанность, которой склонны пренебрегать люди, пришедшие в физику из математики. Физика - не математика, а математика - не физика. ... в физике вы должны понимать связь слов с реальным миром.”
О месте математики в науках о реальном мире
С другой стороны, ученые, исследующие природу, не понимая достаточно отчетливо места математики в развитии своей науки, тоже, бывает, не слишком правильно относятся к математике, используя ее не всегда уместно, точнее - ошибочно опираясь на нее тогда, когда надо опираться на конкретную научную теорию или на опыт. Автор этой заметки в свое время с удивлением обнаружил, что несколько групп ведущих в своей области ученых строили модели объектов, смешивая реальный объект с его аппроксимацией, которая, конечно, слишком проста для выдачи обоснованных предсказаний во всем спектре свойств объекта и не обеспечивает законности слишком смелых экстраполяций.
Другой пример многолетних заблуждений обнаружился в области, где работали одни из самых квалифицированных теоретиков. Это было математическое “доказательство” теоремы Гиббса об энтропии смеси газов разных сортов. В процедуре доказательства дифференциал энтропии разбивали на сумму дифференциалов соответственно парциальным давлениям отдельных газов в исходном объеме [14]. Ну и соответственно получали, что энтропия смеси в данном объеме равна сумме энтропий разных составляющих газов по отдельности, помещенных каждый в свой объем, равный полному исходному.
Вообще-то явно чувствуется, что ответ откровенно неверен. Так, если бы все частицы были различными, то пришлось бы суммировать слишком уж много систем, которые заняли бы место размером побольше самой Земли. В нормальной термодинамике такая модель кажется чрезвычайно странной. Однако почтение перед математикой подавляет сомнения и заставляет закрывать глаза на эту несообразность. Однако (скажем еще раз) ошибка здесь не математическая, а методологическая, потому что использованное здесь прямолинейное применение математического равенства в данном случае не обоснованно. Приравнять что-то в физическом выводе можно, лишь если физика доказала, что нечто в левой части правильно моделируется тем, что пишут в правой части. Показать это - дело не математики, а физики. И если физика желает выяснить, можно это делать или нет, то она это должна делать сама, а не спрашивать математику. И лишь после одобрения физикой следовало приравнивать дифференциал сумме “парциальных” дифференциалов. А тут поступали как раз наоборот, и исходное арифметическое приравнивание одного дифференциала сумме “парциальных” должно означать в этом случае взятие за исходное положение того, что получают в качестве вывода.
В действительности в той термодинамике, для которой намеревались доказать теорему, парциальные давления, наводящие на мысль разбить дифференциал на части, вообще не являются наблюдаемыми. При наличии в качестве измерительного прибора поверхности только одного объема наблюдаемым является только полное давление в нем. Это мы и механика знаем, что газы разные, но в обычной работе с газами, результаты которой порождают представление об обычной термодинамике, это никак не используется, и разносортность газов скрывается одной и той же макроскопической динамикой - зависимостью давления при данном объеме только от полной энергии, но не от вида газа. Так что не было никакого основания записывать исходное равенство. Описанное доказательство есть чистая тавтология.
В книге [15] только что изложенное “доказательство” дублируется аналогичным “физическим”, основанным на разделении смеси газов с помощью полупроницаемых перегородок на несколько объемов, равных каждый по величине исходному, с отдельными газами. И здесь совершается аналогичная методологическая ошибка: в той же обычной термодинамике нет полупроницаемых стенок, поэтому доказательство к ней не относится.
В общем можно сказать, что в тандеме математики и некоторой частной науки о мире ведущей является именно та конкретная наука, а не математика, которая должна выступать как служанка науки о реальном мире. Возможно, эта служанка может замечательно умыть, причесать и затянуть в корсет свою госпожу, но все же никогда не должна становиться всевластной хозяйкой, чтобы самой золотой рыбке не пришлось стать Золушкой.
Об особом характере математического моделирования
Что же касается раздела прикладной математики, где занимаются экстракцией математических зависимостей, так или иначе описывающих поведение объектов и свойств, выделяемых конкретными науками из реальности (математическое моделирование), то это особая наука, не совпадающая с чистой математикой, и вся она должна быть проникнута научной методологией. Вклад внематематического происхождения, привязывающий классифицирующие (выбирающие решения) математические операции к реальности, в таких работах совершенно очевиден, и работающие здесь специалисты обычно довольно хорошо осознают качественное и “генетическое” различие этих вкладов и предпринимают усилия по развитию и совершенствованию обеих сторон проблемы.
Принципиальной чертой этих задач является то, что они обратные и, следовательно, не имеют, вообще говоря, единственного решения, а бывает, что и никакого (переопределенные задачи). Для переопределенных задач приходится придумывать в качестве выхода некоторые близкие в определенном смысле решения, то есть требуется обдумывать и волевым образом придавать смысл некоторому искусственному решению, вводя в рассмотрение вопросы адекватности решения задачи чему-то стоящему вне ее (понимаемой в узко-постановочном смысле), причем понимание адекватности может быть весьма разнообразным, и уж во всяком случае отнюдь не совпадающим с требованием точного описания как сущности, так и формы явления - все как при общем познании. Адекватность может пониматься примерно так же, как ее понимает нормальная теория познания: отражение, разумеется, не совпадает с отражаемым, но зависит от него, как бы частично содержит его в другой форме.
Полезно обратить внимание на обычный в математическом моделировании выбор из множества возможных решений (обратной задачи) наиболее гладкого (или простого) в некотором смысле решения. Например, применяется регуляризация задачи аппроксимации данных путем обрыва аппроксимирующего ряда. Этот прием - следствие осознанного или не осознанного использования принципа бритвы Оккама, одного из самых важных и мощных общенаучных принципов познания [16]. В данном случае он применяется как момент выполнения задачи познания при нормальном реалистическом понимании адекватности решения (теории). Для самой же математики этот методологический прием совершенно чужд, его в ней нет. Выбор варианта регуляризации - это не математическая задача.
О критериях правильности
Напомню, что формалисты типа Фейерабенда, частично повторяя Беркли (“одна простая идея может быть образцом или изображением только другой идеи. Пока же они различны, одна не может походить на другую.” “? на что может быть похоже ощущение, кроме ощущения?” ([17], с. 47)) и утверждая непереводимость смыслов и несовместимость теорий, понимают адекватность именно как полное совпадение, которое, естественно, невозможно, в силу чего и ударяются в более или менее полный произвол - эпистемологический анархизм [18]. Им бы логично и последовательно было восклицать “anything goes!” с позиций отношения математики ко множеству формально допустимых решений, а не с позиций познавательной задачи: именно для математики никакое из этих решений не лучше и не хуже другого, но не для методологически правильного познания. Почему-то сторонники эпистемологического анархизма, увлекаясь формальной логичностью, не обращают внимания на то, что наличный опыт все-таки что-то говорит нам о мире, а не совсем уж бесполезен. Этот момент важен при анализе применимости математического идеала правильности - полной и строгой доказанности - к выводам наук о реальном мире. Некоторые требуют совсем строгих доказательств во всех без исключения вещах (правда, обычно от других). Принять понимание и подход Фейерабенда всерьез означало бы признать полную бессмысленность математического моделирования в целом.
Дефектом неуместного формализаторства (или формализаторства в неуместной степени) является непонимание нереалистичности подхода с требованием перенесения математического критерия полной формально-логической законченности доказательств во все другие науки. Под логикой доказательств понимают чисто формальную логику, применение которой нереально для неисчерпаемо сложных явлений, которые невозможно полно и точно охватить никакими наборами характеристик и описаний. В действительности сами требующие такой “строгости” обычно в своих примерах, советах и рекомендациях, не умея выделять главных звеньев реальных проблем, ограничиваются простейшими комбинациями куцых обрывков смехотворных банальностей вплоть до мистических и религиозных. Наихудшим следствием подобного формалистского взгляда является непонимание и отбрасывание истинно реалистического и научного - диалектического - рассмотрения событий и дел в их историческом возникновении, связях и развитии.
В общем, принципиальное отличие задачи математики от задачи физики и других наук о реальности отчетливо и существенно разводит математические и физические критерии и идеалы научности (ср. с [19]) при сближении физических с общими идеалами и критериями научности при изучении реального мира. И это сближение таково, что даже философия подобно бесспорно научной физике оказывается научной в той степени, в какой и поскольку в ней научными методами систематически изучаются вопросы о том, что и в каком смысле существует в мире и как мы это познаем (см. дискуссию о том, наука или не наука философия, в журнале “Философские науки” в 1989 г., начиная с № 6).
О преподавании физики не как математики
Дополнительно хотелось бы указать на одну особенность изучения физики, повидимому существенно отличную от изучения математики. Работники вузов, имеющие отношение к приемным экзаменам по физике, отмечая относительно слабую подготовку абитуриентов по ней, обычно объясняют это тем, что в школе ее не проходят как точную науку. Но, похоже, это объяснение несколько поверхностно, и оно в значительной степени основывается на представлении о близком подобии духа физики духу математики, что в действительности неверно. Физике невозможно хорошо научиться, не научившись чуть ли не зрительно, чувственно, так и напрашивается сказать: физически, - представлять картину, соответствующую задаче. Если в математике по крайней мере большая часть задач решается формальной техникой, то в физике после формулировки задачи требуется на самом деле ее себе правильно поставить, для чего и надо представить себе процесс в его взаимосвязях и движении. А пока учащийся не научится так ставить себе задачу, то есть сначала заниматься именно построением в голове соответствующей картины, которую он потом должен адекватно отразить подходящими уравнениями, он будет “плавать”. Поэтому начальное преподавание физики должно быть медленным, преподаватель должен вплоть до показа руками пояснять процессы, их варианты и суть, объяснять школьникам то, что они много раз видели, но не осознавали и не приводили в согласованный вид. Первоначальное обучение должно сопровождаться решением большого количества простых задач для выработки “физического мышления”. В этом отношении представляется совершенно ошибочной и вредной замена комплекта учебника и задачника по физике (типа старого задачника под редакцией П.А.Знаменского) одним учебником с вкрапленными в него немногими почти случайными задачами. Впрочем, последнее относится и к математике.
В качестве примера чрезвычайной
легкости появления неправильного (что показано в
[5, 20, 21]) понимания весьма простой по идее и
форме задачи можно привести объяснение
Пригожиным термодинамической выделенности
направления стрелы времени при симметрии ее в
механике. Для получения эффекта движения
приготовленной в неравновесном состоянии
системы только к равновесию (замечу - в
редукционистском подходе, то есть как
следствие собственного поведения частиц
системы) Пригожин запрещает природе реализацию
неподходящей половины априори возможных
начальных микросостояний (это его “принцип
отбора” [22], [23, с. 227]). При этом он в
объяснении вынужденности этой меры ссылается на
природу:
“В о п р о с о т о м, ч т о
ф и з и ч е с к и р е а л и з у е м о
и ч т о н е р е а л и з у е м о,
э м п и р и ч е с к и й” ([23], с. 229).
Однако рассматриваемая им задача - чисто
модельная, к природе уже не имеющая никакого
отношения, в ней можно получить обычные
термодинамические эффекты (при нормальном
наблюдателе) и нет и неоткуда взять закона
природы, запрещающего реализацию обращенных
скоростей.
По-видимому, в заключение следует сказать, что вообще физики часто думают и оперируют явлениями, движениями и приближенными образными моделями, а не структурированными по “правильным” математическим канонам уравнениями, рядами и спектрами, препарирующими процессы на возможно отсутствующие действительно составляющие, так что им при этом не приходится проделывать искусственно добавляемых технических преобразований, способных порождать неестественные для дела (и реальности) затруднения. Это ближе к природе, которая, по выражению Эйнштейна, интегрирует (движется, развивается) эмпирически.
Литература
[1] Гнеденко Б.В., Хинчин А.Я. Элементарное введение в теорию вероятностей. - М.: Наука, 1982.
[2] Смолуховский М. Доступные наблюдению молекулярные явления, противоречащие обычной термодинамике / Эйнштейн А., Смолуховский М. Брауновское движение. - Л.: ОНТИ, 1936, с. 197; Молекулярно-кинетические исследования по вопросу об обращении термодинамически необратимых процессов и о возврате аномальных состояний / Там же, с. 303.
[3] Губин В.Б. О роли деятельности в формировании моделей реальности // Вопросы философии. 1997. No 8. С. 166-174.
[4] Лессинг Г.Э. Гамбургская драматургия. Статья LXX / Избранные произведения. - М.: Гослитиздат, 1953. С. 565.
[5] Губин В.Б. Физические модели и реальность. Проблема согласования термодинамики и механики. - Алматы: МГП “Демеу” при изд. “Рауан” Минпечати Республики Казахстан, 1993.
[6] Губин В.Б. Математика как формализованная имитация этапа структурирования мира в отражении субъекта / Философские науки. 1996. Вып. 1-4. С. 196-206.
[7] Перминов В.Я. О “математическом натурализме” Ф.Китчера / Методологический анализ оснований математики. - М.: Наука, 1988. С. 32-36.
[8] Китчер Ф. Математический натурализм / Там же, с. 5-32.
[9] Губин В.Б. Некоторые требования к правильному разрешению парадоксов Гиббса / Журнал физической химии. 1985. Т. 59. Вып. 2. С. 517-520.
[10] Губин В.Б. О связи стилей математического и физического мышления с природой задач математики и физики / Вопросы философии. 1998. Вып. 11. С. 142-148.
[11] Эйнштейн А. О методе теоретической физики / В сб. Эйнштейн А. Физика и реальность. - М.: Наука. 1965, с. 61-66.
[12] Соловьев Вл.С. Вера как основание
науки / http://www.philosophy.nsc.ru/life/journals/philscience/
1_95/10_sol.htm . 1995.
[13] Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // Этюды о симметрии. - М.: Мир, 1971.
[14] Фейнман Р. Характер физических законов. - М.: Мир, 1968. С. 55-56.
[15] Гельфер Я.М., Любошиц В.Л., Подгорецкий М.И. Парадокс Гиббса и тождественность частиц в квантовой механике. - М.: Наука, 1975.
[16] Губин В.Б. Об одном варианте принципа бритвы Оккама / Философские науки. 1998. Вып. 2. С. 136-150.
[17] Беркли Дж. Сочинения. - М.: Мысль, 1978.
[18] Фейерабенд П. Избранные труды по методологии науки.- М.: Прогресс, 1986.
[19] Кезин А.В. Научность: эталоны, идеалы, критерии. - М., 1985
[20] Губин В.Б. Прав ли Пригожин? (Согласование термодинамики с механикой и деятельностный механизм формирования объектов) / Философские науки, 1995. Вып. 5-6. С. 140-151.
[21] Губин В.Б. История с энтропией / Философские науки. 1997. Вып. 3-4. С. 98-120.
[22] Пригожин И. Время, структура и флуктуации / Успехи физических наук, 1980, т. 131, вып. 2, с. 185-207.
[23] Пригожин И. От существующего к возникающему. - М.: Наука, 1985.