В.Б.Губин. О физике, математике и методологии. - М.: ПАИМС. 2003.

ЖУРНАЛ ФИЗИЧЕСКОЙ ХИМИИ, T. LIV, 1980, № 6, cтр. 1529-1536
УДК 536.75

ЭНТРОПИЯ КАК ХАРАКТЕРИСТИКА УПРАВЛЯЮЩИХ ДЕЙСТВИЙ ^*

_________________________________________
^* Печатается в дискуссионном порядке.
_________________________________________

При всей важности понятия энтропии, широко используемого в различных областях, традиционное статистическое определение энтропии встречает трудности с введением вероятности в классической статистике [1,2], с выяснением физических основ закона возрастания энтропии [3], с разрешением парадокса Гиббса и т.д.

В существующих интерпретациях, имеющих отношение к тепловой машине, энтропия - это характеристика макросистемы, связываемая с присущей системе ограниченной возможностью получения работы за счет внутренней энергии системы. Такая интерпретация вызывает возражение. Пример с демоном Максвелла указывает, что для работы без холодильника необходимо достаточно тщательное управление частицами газа (микросистемой). Пусть законы мира допускают точное управление, но если по каким-то (неважно, по каким) причинам такое управление не осуществляется, то результат (например, тот или иной КПД тепловой машины) не обязательно окажется удовлетворительным. Результат, получаемый при конкретно реализуемых управляющих действиях, очевидно, характерен для них, соответственно энтропия, видимо, должна быть связана с характеристиками этих действий.

Таким образом, при анализе, например, работы тепловой машины, причин того или иного ее КПД еще недостаточно анализа свойств объективного мира, необходимо также анализировать конкретные действия, совершаемые для получения работы за счет кинетической энергии частиц газа. Кажется полезным рассмотреть по возможности простейшую модельную ситуацию, свободную от несущественных в каком-то отношении моментов, но позволяющую понять принципиальные основания некоторых важнейших эффектов. По этой причине обратимся к анализу работы модельной тепловой машины.

Рассмотрим одну из трех перпендикулярных компонент движения точечных невзаимодействующих частиц. Пусть в одномерном “объеме” движется частица, упруго отражаясь от его стенок. За каждое столкновение со стенкой скорость частицы меняется на 2v_ст (где v_ст - скорость стенки). При изменении объема на D L конечная энергия частицы может оказываться различной в зависимости от начального положения и направления скорости частицы и от временного характера движения стенки. Покажем, что в адиабатическом пределе v_ст /v ® 0 (v - скорость частицы) конечная энергия частицы точно фиксируется начальной ее энергией, начальным объемом и изменением объема (предполагается, что временной характер движения стенок специально не выбирается, чтобы не было параметрического резонанса [4]).

Рис. 1.                                                             Рис. 2.

Пусть стенка вдвигается внутрь объема, начальная величина которого равна L₀. Если частица начинает движение из точки x (рис. 1), то координата точки n-го столкновения частицы со стенкой равна

где a - отношение скорости стенки к начальной (т.е. минимальной) скорости частицы. С уменьшением a значение L_n перестает зависеть от x, в то же время допустимо любое L_n из (0,L₀), что возможно при большом числе столкновений. При конечном объеме L число столкновений n равно целой части от

Для разных начальных x разница в числе столкновений

Тогда n ®   и Dn/n ® 0 при a L₀/DL ® 0, т.е. медленное изменение объема на DL сопровождается приблизительно одинаковым для всех возможных начальных x большим числом столкновений. В пределе a ® 0 для всевозможных начальных x изменение модуля скорости при изменении объема на dL подчиняется уравнению

                                (1)

EL² = const.                                    (2)

Эти соотношения сохранятся при любом числе частиц, если Е будет обозначать их суммарную кинетическую энергию. Таким образом, при адиабатически медленных изменениях объема задание начальной энергии системы однозначно задает траекторию E(L). Следовательно, при медленных расширении (этап 1® 2 на рис. 2) и последующем сжатии (2® 1) объема полезная работа за цикл не может быть получена, поэтому перед сжатием часть энергии газа должна быть отдана другому телу (“холодильнику”) - этап 2® 3. Ясно, что здесь нет речи об установлении равновесия, соответственно обычная необходимость в холодильнике еще не может служить доказательством стремления систем к равновесию. Кроме того, не важно, что в принципе в нашей модели существует возможность сжать объем без затраты работы, например, как это допускается механикой, выждав момент, когда частицы соберутся в части 0-6, и, быстро задвинув поршень (этап 2® 5), когда полезная работа за цикл изобразится площадью 1-2-7-6: воздействуя на микросистему с помощью медленных движений стенок, мы просто не используем этой возможности.

Управление микросистемой с помощью медленных движений стенок может быть адекватно отражено введением параметров объема и давления.

Определим мгновенное значение давления частиц с массами m_i и импульсами p_i=m_iv_i на стенку (на конец отрезка (0,L)):

Здесь dI - импульс, передаваемый стенке за время dt . Среднее за  Dt давление

где N - число частиц, n_i - число ударов i-й частицы о стенку за время от t до Dt . Величина P(Dt ) зависит от положения интервала Dt на временной оси. Однозначно же зависящим, как и E, от L при медленных изменениях объема является не зависящий от t предел

                      (3)

Такое “стационарное” давление может быть измерено с любой необходимой точностью и в процессе адиабатически медленного движения стенок. При быстрых движениях стенок этого сделать нельзя, т.е. величина (3) не может быть использована для описания быстрого процесса. Таким образом, использование однозначного давления в качестве параметра, адекватно описывающего воздействия на газ в машине. означает, что движения поршня медленные и, следовательно, ей нужен холодильник.

P dL = -dE ,                                 (4)

т.е. в адиабатическом пределе (и только) давление P оказывается обобщенной силой, сопряженной обобщенной координате L (именно при этом и возникает термодинамическое описание). Из (2) и (3) получаем одномерный аналог адиабаты Пуассона

PL³ = const.                                   (5)

Эту адиабату, очевидно, можно отождествить (с коррекцией на одномерность) с адиабатой феноменологической термодинамики.

Итак, при адиабатически медленных изменениях объема при любом число частиц описание макропроцесса с помощью макропараметров замкнуто: для однозначного описания макропроцесса можно пользоваться однозначно определяемыми, не флуктуирующими макровеличинами, необходимости в обращении к микропеременным нет. Для возникновения этого описания ни термодинамический предел, ни эргодичность не требуются.

В то же время рассматриваемый контроль над системой не однозначен в микроскопическом смысле. В этом случае за временем не следят, движения поршня одинаковы независимо от микроусловий, управление микросистемой грубое, что и не позволяет работать без холодильника. Эту неточность контроля можно оценить непосредственно.

Рассмотрим случай одной частицы. Давление , будучи пределом, не измеряемо (не является действительно наблюдаемой, однозначное давление является наблюдаемой только в схеме безвременной термодинамики (термостатики), которая есть лишь некоторая идеализация даже нашей модельной реальности), измеряемо P(Dt ). В соответствии с отсутствием специального выбора временного характера движения поршня положение интервала D t не привязывается к выделенным моментам движения частицы. В зависимости же от положения интервала D t числа ударов частицы о стенку за D t могут отличаться на единицу (рис. 3), тогда обнаруживаемые давления могут отличаться на

Рис. 3.

Если мы захотим с помощью наблюдаемых L и P(Dt ) найти энергию микросистемы по уравнениям типа

(где 2рn_мин./Dt Ј Ј 2р(n_мин.+1)/Dt ), то будем определять энергию с неточностью DЕ, обратно пропорциональной Dt :

D = DE  Dt ~ Lp.

Подчеркнем, что у самой частицы никакого разброса энергий нет.

Итак, контроль над микросистемой, осуществляемый путем оперирования объемом и давлением, имеет характерную ненулевую неточность, имеющую размерность действия, в то время как детерминистской механикой, принятой в нашей модели, в принципе допускается контроль, способный сколь угодно точно “сопровождать” в фазовом пространстве траекторию микросистемы. Величину D можно связать с энтропией.

Заметим, что и при одной частице можно поставить задачу: за счет энергии частицы получить работу с помощью циклического изменения объема. Все сказанное выше останется справедливым. Напишем выражение для энтропии в этом случае при одномерном движении. Имея макропеременные объем и давление, можно написать для энтропии феноменологическую величину, но нам надо получить статистическое выражение.

Неточность в действии D характеризует грубость контроля над микросистемой с помощью макропараметров, ограничивающую результат манипуляций с газом. Энтропия в феноменологической термодинамике также связывается с некоторой трудностью в получении работы за счет имеющейся тепловой энергии. Кроме того, в разных точках адиабаты величина

D = Lp = L(PLm)^1/2

в силу (5) сохраняется (D взято равным Lp, так как константа пропорциональности здесь несущественна): Lp есть адиабатический инвариант [4]. Так как на адиабате сохраняется и энтропия S, должно быть S = S(D ). Выбирая обычный вид S, можем записать

где S₀ - начало отсчета. В классическом случае можно пользоваться только разностью значений энтропии в различных состояниях.

Итак, энтропия и соответственно термодинамическая температура

оказываются характеристиками неточности контроля над микросистемой в термодинамике. Тепловая энергия - это не энергия хаотического движения, которое не может быть определено, а в некотором смысле плохо контролируемая энергия.

Предположим, что частица в каждой точке адиабаты имеет контакт с термостатом, вызывающим флуктуации ее энергии, но оставляющим ту же среднюю энергию (в каждой точке адиабаты), что и энергия частицы без термостата. Соответственно при каждом L давление P не будет меняться по сравнению со случаем частицы без термостата. В таком случае системы с термостатом и без него эквивалентны в отношении совпадения макронаблюдаемых, макропроцессов и результатов работы с системами с помощью макропараметров (заметим, что в феноменологической термодинамике системы не различаются по распределениям). Следовательно, контроль над частицами в этих двух системах эффективно одинаков. Тогда макропеременные системы в термостате, в том числе S и характеристическую неточность D , можно приравнять макропеременным эквивалентной изолированной системы:

D = Lp_эфф. = L(2mE)^1/2 = L(mPL)^1/2,

где E - средняя энергия частицы, в частном случае изолированной системы равная ее точной энергии; р_эфф. имеет смысл эффективного, характеристического импульса.

Таким образом, энтропия и термодинамическая температура могут быть введены и без термостата и с термостатом любой мощности. Требования к импульсным распределениям - самые слабые, в частности распределения могут быть дискретными, что снимает принципиальную трудность стандартного подхода. Вся вероятность, порождающая статистику, происходит от нескоррелированности внешних воздействий с состоянием микросистемы как в случае системы в термостате, так и в случае изолированной системы.

Для построения выражения для энтропии в общем случае N>1 поступим аналогично предыдущему.

Система с N точечными частицами с массами m_i и средней суммарной энергией Е в объеме L на адиабате во “внешних”, макроскопических, проявлениях ведет себя так же, как и система, образованная из приставленных стенками друг к другу систем с объемами L/N, в которых по одной размещены частицы с энергиями E/N. Энтропия системы с перегородками по обычным правилам равна сумме энтропий отдельных элементарных систем, тогда и энтропия системы без перегородок (безразлично, изолированная или в термостате) есть

                  (6)

где p_j = (2m_jE/N)^1/2 = (m_jPL/N)^1/2 - импульсы частиц элементарных систем, т.е. лишь характеристические импульсы, не обязанные совпадать с действительными импульсами частиц реальной системы. Энтропия (6) точно аддитивна и не испытывает скачка при плавном переходе от нетождественных частиц к тождественным.

Подчеркнем, что введенная здесь энтропия относится только к описанию работы тепловой машины, соответствует феноменологической, введенной Клаузиусом, и не применима к описанию неравновесных систем.

Если энергия - однородная функция импульса, одинаковая для всех частиц (а только при этом условии системы с перегородками и без них эффективно одинаковы, а значит энтропия точно аддитивна и, следовательно, можно ввести единую термодинамическую температуру)

Рассмотрим теперь вопрос о необратимости.

В настоящем подходе энтропия, являющаяся характеристикой точности контроля над микросистемой с помощью макропараметров, при неизменном контроле не меняется со временем (скажем, из-за движения микросистемы). При изменении точности контроля можно перейти к состоянию с другим значением энтропии.

Для получения полезной работы за цикл надо возвращаться по более низкой адиабате (рис. 2). На этапе перехода на другую адиабату точность контроля меняется. Будем считать, что контакт между двумя системами (цилиндр и холодильник) с одинаковыми плотностями частиц и с разными температурами устанавливается и прекращается путем убирания и восстановления перегородки между ними.

При убирании перегородки результирующее макросостояние достигается однозначно независимо от конкретного положения микросистемы в момент убирания перегородки. Для связи старых и новых значений макропараметров могут быть просто написаны уравнения, не включающие микропеременных.

Теперь вместо двух систем с разными температурами T₁ и T₂ есть одна система с промежуточной температурой T:

,

где N₁, и N₂ - числа частиц в первоначальных системах. Всегда, без всяких флуктуаций,

max {T₁,T₂} і T і min {T₁,T₂},

S і S₁ + S₂.

Никакое реальное установление равновесия, тем более окончательное, не является необходимым для перехода к состоянию с этой промежуточной температурой. При контакте систем с различающимися температурами контроль обязательно ухудшается.

Существенно, однако, что обратный процесс, процесс улучшения контроля, в рамках контроля с помощью макропараметров не определен. Чтобы однозначно получить желаемые допустимые макросостояния (например, первоначальные) вновь разделенных систем, надо вводить перегородку в нужный момент, т.е. надо знать положение микросистемы и в достаточной мере использовать возможности механики. Разделение же системы на части без предварительного измерения микросостояния и последующего использования этой информации, т.е. введение перегородки в случайный момент, приводит к случайному результату в отличие от результата объединения систем. Таким образом, огрубление контроля над системой, осуществляемого с помощью макропараметров, в рамках этого контроля строго необратимо. Эта строгая несимметричность решающим образом связана с эффектами, которые представляются наиболее сильными доказательствами необратимости в развитии систем, она заставляет сопоставлять заданное неравновесное по некоторому критерию состояние (флуктуацию), т.е. начальное состояние, со случайным или получающимся в среднем после разделения, что, конечно, неравноценно.

Итак, рассматриваемая тепловая машина совершает за цикл полезную работу только при ухудшении контроля (при переходе к состояниям нагревателя и холодильника с большей суммарной энтропией), причем неравноценность флуктуации и среднего лишь позволяет при грубом управлении передать энергию от нагревателя рабочему телу, а затем - холодильнику (т.е. ухудшить контроль).

Достаточно полное использование возможностей механики позволило бы в соответствии с теоремой Лиувилля сохранить начальную информацию (фазовый объем), однако при более грубом контроле, не использующем все возможности управления с помощью микропеременных, теорема Лиувилля для анализа неприменима. Поэтому изменения контроля в тепловой машине и переход к состояниям с другим значением энтропии не противоречат теореме Лиувилля о сохранении фазового объема и не нуждаются в специальном согласовании с ней с помощью, например, гипотезы Гиббса о перемешивании фазового ансамбля.

Работа машины “с ростом энтропии” не противоречит также возвратной теореме Пуанкаре и Цермело. Ясно, что теорему следует применять к исследованию поведения фазовой точки, изображающей микросистему, или некоторой функции от этой точки. При возвращении точки в некоторую первоначальную область такая функция также будет “возвращаться”. Но контроль над микросистемой отнюдь не порождается самой микросистемой, и величина характерного фазового объема (и энтропия) не является функцией фазовой точки реальной микросистемы. Макропеременные объем, давление, энтропия и т.д. не порождаются автоматически заданием микропеременных, не являются их мгновенными функциями. Поэтому возвращение микросистемы в первоначальную область само по себе не приводит к восстановлению старых значений макропеременных.

Как следует из проведенного анализа, самой по себе “энтропии системы” нет, введенная энтропия есть лишь характеристика некоторых связей субъекта и объекта, отсутствующая без наличия субъективного уровня. На чисто “объективном” уровне отсутствуют также понятие порядка и критерии равновесности или неравновесности. Принципиальные трудности при обосновании статистической механики - с введением вероятности в детерминистской модели мира, с выяснением физических основ закона возрастания энтропии и т.д. - возникали в конечном счете из-за попыток сопоставить статистику с самим движением частиц, в то время как она появляется при описании некоторого обращения с ними. Этот “объективистский” подход поддерживался мнением, что физика изучает только внешнюю реальность, не зависящую от субъекта, хотя уже понятие “полезный” в выражении “коэффициент полезного действия” должно было настораживать, так как без субъекта оно лишено смысла. Субъект, осуществляя управление микросистемой, преследует определенные цели, отсутствующие в “объективной” реальности. Наоборот, совершая целенаправленные, имеющие для него какое-то значение, действия, он и утверждается как субъект.

Так как не существует энтропии “вообще”, то нельзя отделить, как часто считают, живые объекты от неживых по тем или иным значениям их энтропии. Фактическая несостоятельность классификации живого и неживого по значениям традиционно определяемой энтропии показана в [5].

Более подробно затронутые здесь вопросы рассмотрены в [6-10].

Автор особенно благодарен В.В.Кротовой и А.А.Есакову за полезные дискуссии и поддержку.

ЛИТЕРАТУРА

1. Н.С.Крылов, Работы по обоснованию статистической физики, Изд-во АН СССР, М.-Л.,1950.
2. А.А.Власов, Статистические функции распределения, “Наука”, М., 1966.
3. Л.Д.Ландау, Е.М.Лифшиц, Статистическая физика, “Наука”, М., 1976.
4. В.И.Арнольд, Математические методы классической механики, “Наука”, М., 1974.
5. Л.А.Блюменфельд, Критерий живого и физика, в кн. Критерий живого, Изд-во Моск. гос. ун-та, М., 1971.
6. В.Б.Губин, Деп. ВИНИТИ за № 3-75, 1975.
7. В.Б.Губин, Деп. ВИНИТИ за № 293-76, 1976.
8. В.Б.Губин, Деп. ВИНИТИ за № 2598-76, 1976.
9. В.Б.Губин, Деп. ВИНИТИ за № 365-78, 1978.
10. В.Б.Губин, Деп. ВИНИТИ за № 1581-79, 1979.

[ Предыдущая статья книги ] [ Следующая статья ] [ На оглавление книги ] [ На главную страницу сайта]